Note -「How to Use Sieve of Euler」

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Note -「How to Use Sieve of Euler」

cirnovsky / Feb 02, 2021

§ Part. 1 Preface

这个东西是我在做 JZPTAB 的时候 LYC 给我讲的。

然后发现这是个通法，就写一写。

~~本文除了例题所有代码均未经过编译，仅作为参考~~。

§ Part. 2 Untitled（怎么取标题呀）（哦正文）

∆ Part. 2-1 Worse ver.

对于一个积性函数 $f(n)$ ，如果我们已知 $f(1),f(p),f(p^{k})$ （ $p$ 是一个素数）并且可以在 $O(\log_{2}(n))$ 的时间内算出来的话，我们就可以在 $O(n\log_{2}(n))$ 的时间内利用 Euler 筛筛出 $f(1\cdots n)$ 的值。

举个例子，假设

f(n)=\sum_{d|n}d\times\varphi(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)

由于 $\text{id}$ 卷 $\varphi$ 卷不出个什么现成的函数，所以我们得考虑自己把它筛出来。

带个 $p$ 进去可知

\begin{cases} f(1)=1 \\ \displaystyle f(p)=2\times p-1 \\ \displaystyle f(p^{k})=(k+1)\times p^{k}-k\times p^{k-1} \end{cases}

以下内容请参考 Euler 筛代码来看：

void sieve ( const int x ) {
	tag[1] = 1, f[1] = /* DO SOMETHING 1 */;
	for ( int i = 2; i <= x; ++ i ) {
		if ( ! tag[i] ) {
			pSet[++ psc] = i;
			f[i] = /* DO SOMETHING 2 */;
		}
		for ( int j = 1; j <= psc && pSet[j] * i <= x; ++ j ) {
			tag[pSet[j] * i] = 1;
			if ( ! ( i % pSet[j] ) ) {
				f[pSet[j] * i] = /* DO SOMETHING 3 */;
				break;
			}
			else	f[pSet[j] * i] = /* DO SOMETHING */;
		}
	}
}

函数 $\text{sieve}$ 就是 Euler 筛的过程。我在代码中留了四个空，分别来看我们需要做什么。

第一个空很显然，把 $f(1)$ 赋给 f[1] 即可。
第二个空也很显，把 $f(p)$ 付给 f[i]。
我们重点来看第三个空。

首先因为此时的 $i,\text{pSet}_{j}$ 不互质，所以不能直接照完全积性函数筛。

首先，我们需要把 $i\times\text{pSet}_{j}$ 中 $\text{pSet}_{j}$ 因子全部除掉，除完后的结果记为 $\text{tmp}$ ， $\text{pSet}_{j}$ 因子数量记为 $\text{power}$ ，即 $i\times\text{pSet}_{j}=\text{pSet}_{j}^{\text{power}}\times c$ 。

就是类似下面代码做的事情

int tmp = i / pSet[j], power = 2;
while ( ! ( i % pSet[j] ) )	i /= pSet[j], ++ power;

然后对 $\text{tmp}$ 进行分类讨论：

- $\text{tmp}=1$ ：此时 $i\times\text{pSet}_{j}$ 是 $\text{pSet}_{j}$ 的 $\text{power}$ 次方，把 $f(p^{k})$ 赋给 f[pSet[j] * i] 即可。
- $\text{tmp}>1$ ：此时 $\text{tmp}$ 与 $\frac{i\times\text{pSet}_{j}}{\text{tmp}}$ 互质，于是照积性函数 f[pSet[j] * i] = f[pSet[j] * i / tmp] * f[tmp]。

于是第三个空做完了。

第四个空中 $\text{pSet}_{j}$ 与 $i$ 互质，于是照积性函数 f[pSet[j] * i] = f[pSet[j]] * f[i]。

于是我们得到了完整代码

void sieve ( const int x ) {
	tag[1] = 1, f[1] = 1;
	for ( int i = 2; i <= x; ++ i ) {
		if ( ! tag[i] ) {
			pSet[++ psc] = i;
			f[i] = 2 * i - 1;
		}
		for ( int j = 1; j <= psc && pSet[j] * i <= x; ++ j ) {
			tag[pSet[j] * i] = 1;
			if ( ! ( i % pSet[j] ) ) {
				int tmp = i / pSet[j], power = 2;
				while ( ! ( i % pSet[j] ) )	i /= pSet[j], ++ power;
				if ( tmp == 1 )	f[pSet[j] * i] = ( power + 1 ) * cqpow ( pSet[j], power ) - power * cqpow ( pSet[j], power - 1 );
				else	f[pSet[j] * i] = f[pSet[j] * i / tmp] * f[tmp];
				break;
			}
			else	f[pSet[j] * i] = f[pSet[j]] * f[i];
		}
	}
}

∆ Part. 2-2 Better ver.

上述的方法的缺点显而易见：复杂度多出来个 $\log_{2}$ 。

更好的方法是记录最小质因子，具体见 ljs 博客 Link。

§ Part. 3 Example

LOCAL 64388 - GCD SUM

求
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\textrm{gcd}(i,j)$
共有 $T$ 组询问

$\text{task_id}$ 测试点数 $n,m\leq$ $T\leq$ 特殊性质
$1$ 1 $10$ $10^3$ 无
$2$ 2 $10^3$ $10$ 无
$3$ 3 $10^3$ $10^4$ 无
$4$ 4 $10^6$ $10$ $n = m$
$5$ 5 $10^6$ $10^4$ $n = m$
$6$ 2 $10^6$ $10^5$ $n = m$
$7$ 3 $10^7$ $10^6$ $n = m$
$8$ 2 $10^6$ $10$ 无
$9$ 3 $10^6$ $10^4$ 无

$\text{task_id}$	测试点数	$n,m\leq$	$T\leq$	特殊性质
$1$	`1`	$10$	$10^3$	无
$2$	`2`	$10^3$	$10$	无
$3$	`3`	$10^3$	$10^4$	无
$4$	`4`	$10^6$	$10$	$n = m$
$5$	`5`	$10^6$	$10^4$	$n = m$
$6$	`2`	$10^6$	$10^5$	$n = m$
$7$	`3`	$10^7$	$10^6$	$n = m$
$8$	`2`	$10^6$	$10$	无
$9$	`3`	$10^6$	$10^4$	无

放个 task 7 以外的部分分的推导

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j) \\ \begin{aligned} &=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=d] \\ &=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[\gcd(i,j)=1] \\ &=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{k|i,k|j}\mu(k) \\ &=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{k|(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor),k|(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}\mu(k)(\lfloor\frac{n}{d\times k}\rfloor)(\lfloor\frac{m}{d\times k}\rfloor) \\ &=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{k|(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor),k|(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}\mu(k)(\lfloor\frac{n}{d\times k}\rfloor)(\lfloor\frac{m}{d\times k}\rfloor) \\ &=\sum_{T=1}^{\min\{n,m\}}\sum_{d|T}d\times\mu(\lfloor\frac{T}{d}\rfloor)\times(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)\times(\lfloor\frac{m}{T}\rfloor) \\ &=\sum_{T=1}^{\min\{n,m\}}(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)\times(\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)\times\sum_{d|T}d\times\mu(\lfloor\frac{T}{d}\rfloor) \\ &=\sum_{T=1}^{n}(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)^{2}\times\varphi(T) \\ \end{aligned}

对于 task 7， $n=m$ 让我们很方便地直接少了一个变量，然后就继续推

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\gcd(i,j) \\ \begin{aligned} &=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\gcd(i,j)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\ &=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{i}[\gcd(i,j)=d]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\ &=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{i}{d}\rfloor}[\gcd(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor,j)=1]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\ &=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\varphi(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\ \end{aligned}

然后

\text{let }f(n)=\sum_{d|n}d\times\varphi(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)

后面的就是前面举的例子了，略。

/*
\large\text{For 1e6 part} \\
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j) \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=d] \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[\gcd(i,j)=1] \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}\sum_{k|i,k|j}\mu(k) \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{k|(n/d),k|(m/d)}\mu(k)(n/(dk))(m/(dk)) \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{k|(n/d),k|(m/d)}\mu(k)(n/(dk))(m/(dk)) \\
\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\sum_{d|T}d\times\mu(T/d)\times(n/T)\times(m/T) \\
\sum_{T=1}^{\min(n,m)}(n/T)\times(m/T)\times\sum_{d|T}d\times\mu(T/d) \\
\sum_{T=1}^{n}(n/T)^{2}\times\varphi(T) \\
\text{precalculate the last part} \\
\large\text{For 1e7 part} \\
n=m \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\gcd(i,j)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{i}[\gcd(i,j)=d]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{i/d}[\gcd(i/d,j)=1]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\varphi(i/d)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
f(i)=\sum_{d|i}d\times\varphi(i/d) \\
\text{f(i) is able to be sieved;} \\
f(1)=1,f(p)=p-1+p=2\times p-1,f(p^{k})=(k+1)\times p^{k}-k\times p^{k-1}
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int id,t,n,m,tag[10000010],prime[10000010],cnt;
long long f[10000010],phi[10000010];
long long cqpow(long long bas,int fur)
{
	long long res=1;
	while(fur)
	{
		if(fur&1)	res*=bas;
		bas*=bas;
		fur>>=1;
	}
	return res;
}
void search(int x)
{
	tag[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!tag[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&(long long)prime[j]*i<=x;++j)
		{
			tag[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else	phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=x;++i)	phi[i]+=phi[i-1];
}
long long calc(int x,int y)
{
	long long res=0;
	int lim=min(x,y);
	for(int l=1,r;l<=lim;l=r+1)
	{
		r=min(x/(x/l),y/(y/l));
		res+=(long long)(n/l)*(m/l)*(phi[r]-phi[l-1]);
	}
	return res;
}
void exsearch(int x)
{
	tag[1]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!tag[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			f[i]=(i<<1)-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&(long long)prime[j]*i<=x;++j)
		{
			tag[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				int tmp=i/prime[j],power=2;
				while(tmp%prime[j]==0)
				{
					tmp/=prime[j];
					power++;
				}
				if(tmp==1)	f[prime[j]*i]=(power+1)*cqpow(prime[j],power)-power*cqpow(prime[j],power-1);
				else	f[prime[j]*i]=f[prime[j]*i/tmp]*f[tmp];
				break;
			}
			else	f[prime[j]*i]=f[prime[j]]*f[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=x;++i)	f[i]+=f[i-1];
}
long long excalc(long long x)
{
	return (f[x]<<1)-((x*(x+1))>>1);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&id,&t);
	if(id^7)
	{
		search(1000000);
		while(t--)
		{
			scanf("%d%d",&n,&m);
			printf("%lld\n",calc(n,m));
		}
	}
	else
	{
		exsearch(10000000);
		while(t--)
		{
			scanf("%d%d",&n,&m);
			printf("%lld\n",excalc(n));
		}
	}
	return 0;
}