§ Description

Link.

Given is a rooted tree with the $\sf1$-th node as the root.

The tree will be given in this way: it will tell you that the parent of the $\sf i$-th node is $a_{i}$.

Supporting the following operations:

• 1 l r x: let $\sf \forall i\in[l,r],a_{i}=max\{a_{i}-x,1\}$.
• 2 u v: find the LCA (Lowest Common Ancestor) of $\sf u$ and $\sf v$.

§ Solution

考虑到修改操作是对结点进行的操作，然后这个东西不太能直接 LCT 或树剖，考虑照序列来分块，那么我们来对结点编号分块。

1. 修改；

$\quad$维护一个属性 $\sf top_{u}$ 表示在原树上结点 $\sf u$ 的祖先中不和 $\sf u$ 在同一个块里面的编号最大的一个结点的编号，如果不存在的话就令 $\sf top_{u}=1$。这样的话你从结点 $\sf u$ 跳到 root 的复杂度为 $\sf O(\sqrt{n})$。接下来考虑怎么维护这个东西。

$\quad$散块我们直接暴力扫着改；对于整块，可以发现如果一个块的被修改次数超过了块的大小，那么就一定会有 $\sf top_{u}=fa_{u}$。

2. 询问。

$\quad$分三个类讨论，这个比较好做（差不多和树剖找 LCA 一个样子）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,top[400010],deln[1000],tag[1000],belong[400010],bl[1000],br[1000],fa[400010],bs;
#define gtlf(x) ((x-1)*bs+1)
#define gtrg(x) (min(x*bs,n))
void updtop(LL x)
{
	if(belong[x]^belong[fa[x]])	top[x]=fa[x];
	else	top[x]=top[fa[x]];
}
void turndown(LL x)
{
	if(tag[x])
	{
		for(LL i=gtlf(x);i<=gtrg(x);++i)	fa[i]=max(fa[i]-tag[x],1ll);
		tag[x]=0;
	}
}
template<typename T>
void read(T &hhh)
{
	T x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9')	c=getchar();
	while(c>='0' && c<='9')	x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();
	hhh=x;
}
template<typename T>
void write(T x,char las='\n')
{
	static int st[100],top=0;
	do st[++top]=x%10,x/=10; while(x);
	while(top)	putchar(st[top]^'0'),--top;
	putchar(las);
}
int main()
{
	read(n),read(m),bs=sqrt(double(n))+1,fa[1]=belong[1]=1;
	for(LL i=2;i<=n;++i)	read(fa[i]);
	for(LL i=2;i<=n;++i)	belong[i]=(i-1)/bs+1,updtop(i);
	LL las=0;
	while(m--)
	{
		LL opt; read(opt);
		if(opt==1)
		{
			LL opl,opr,opx;
			read(opl),read(opr),read(opx);
			opl^=las,opr^=las,opx^=las;
			turndown(belong[opl]);
			if(belong[opl]==belong[opr])
			{
				turndown(belong[opl]);
				for(LL i=opl;i<=opr;++i)	fa[i]=max(fa[i]-opx,1ll),updtop(i);
				for(LL i=opr+1;i<=gtrg(belong[opl]);++i)	updtop(i);
			}
			else
			{
				turndown(belong[opl]);
				for(LL i=opl;i<=gtrg(belong[opl]);++i)	fa[i]=max(fa[i]-opx,1ll),updtop(i);
				for(LL i=gtlf(belong[opl]);i<opl;++i)	updtop(i);
				turndown(belong[opr]);
				for(LL i=gtlf(belong[opr]);i<=opr;++i)	fa[i]=max(fa[i]-opx,1ll),updtop(i);
				for(LL i=opr+1;i<=gtrg(belong[opr]);++i)	updtop(i);
				for(LL i=belong[opl]+1;i<belong[opr];++i)
				{
					if(deln[i]>=bs)	tag[i]+=opx;
					else
					{
						++deln[i];
						for(LL j=gtlf(i);j<=gtrg(i);++j)	fa[j]=max(fa[j]-opx,1ll),updtop(j);
					}
				}
			}
		}
		else
		{
			LL opx,opy; read(opx),read(opy);
			opx^=las,opy^=las;
			while(opx^opy)
			{
				LL fopx,fopy;
				if(deln[belong[opx]] < bs) fopx=top[opx];
				else fopx = max(1LL , fa[opx] - tag[belong[opx]]);
				if(deln[belong[opy]] < bs) fopy=top[opy];
				else fopy = max(1LL , fa[opy] - tag[belong[opy]]);
				if(belong[opx]^belong[opy])
				{
					if(belong[opx]>belong[opy])	opx=fopx;
					else	opy=fopy;
				}
				else if(fopx^fopy)	opx=fopx,opy=fopy;
				else
				{
					if(opx>opy)	turndown(belong[opx]),opx=max(1LL , fa[opx] - tag[belong[opx]]);
					else	turndown(belong[opy]),opy=max(1LL , fa[opy] - tag[belong[opy]]);
				}
			}
			write(las=opx);
		}
	}
	return 0;
}