区间加法可以差分的原因是 $\Delta_i = \Delta_{i-1}$，所以令 $\textit{d}_i = \Delta_i-\Delta_{i-1}$，对于一个一般点的 $\Delta_i = f(\{\Delta_1, \dots, \Delta_{i-1}\})$，我们可以令 $\textit{d}_i = \Delta_i-f(\{\Delta_1, \dots, \Delta_{i-1}\})$。

这得出了广义一点的差分。那么前缀和的方式即 $\textit{d}_i \gets d_i+f(\{d, \dots, d_{i-1}\})$（其实这里的 $f$ 改为下标的函数可能更准确一点）。

举个例子，对区间 $[l, r]$ 中的 $i \in [l, r]$ 操作 $a_i \gets a_i+f_{i-l+1}$，其中 $f$ 是 Fibonacci 数列，也就是说 $f_i = f_{i-1}+f_{i-2}$，差分数组即 $d_i = a_i-a_{i-1}-a_{i-2}$，操作即 $d_l \gets d_l+1$，$d_{r+1} \gets d_{r+1}+f_{r-l+2}$，$d_{r+2} \gets d_{r+2}+f_{r-l+1}$，前缀和方法即 $d_i \gets d_i+d_{i-1}+d_{i-2}$。

差分是导函数的一个演绎，即令研究范围中的 $\epsilon = 1$ 而得来的（在实数中令 $\epsilon = \lim\limits_{\frac{1}{x} \rightarrow +\infty}x$ 做差分即可得到导函数）。